ARQUIMEDES

Arquímedes

Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas.

"...pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación." (Plutarco)

Aunque todo la anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhaución de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

Arquímedes determinó el volumen de una esfera

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidió a sus amigos y parientes que, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribiéndola en la proporción del sólido continente respecto al contenido; esto es, la razón 3:2"
(Plutarco, Vidas Paralelas)

Mencionamos a continuación, algunas de sus obras más importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planos
Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parábola
Demuestra que: "Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola". Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Método (Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos)
Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teoría de las razones y de las proporciones entre magnitudes geométricas y sobre todo el método de exhaución de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindro
El resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera a partir del volumen del cilindro. (más información)

5) Sobre espirales
Un estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree que el objetivo que se perseguía era resolver alguno de los grandes problemas de la época, como la cuadratura del circulo o la trisección de un ángulo. (más información)

6) Sobre los conoides y esferoides
Estudio sobre las figuras geométricas que se obtienen al hacer girar las cónicas.

7) Sobre los cuerpos flotantes
Estudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Hierón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka! (que en griego significa "Lo encontré")

8) Sobre la medida del circulo
Donde encuentra la fórmula para el área de un circulo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número pi inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotación que encontró fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

aproximadamente       3'140845... < pi < 3'142857...     (más información)

9) El Arenario
En el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeración con el que se pueden representar tales magnitudes. No olvidemos que el sistema de numeración indo-arábigo no era conocido todavía en la cultura occidental.

Sobre la medida del círculo

Los geómetras de la época conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de los Elementos de  Euclides, aparece la demostración de que la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, también es una constante. Arquímedes consiguió demostrar que la constante que aparece en este caso también tiene que ver con el (hoy llamado) número pi. El primer paso fue demostrar la siguiente:

PROPOSICIÓN: El área de un polígono regular es (P*a)/2, donde P representa el perímetro y a la apotema del polígono. 
La demostración que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposición del polígono en triángulos congruentes.

A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho más importante.

PROPOSICIÓN: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.
    Demostración:

Llamamos A al área del círculo y T a la del triángulo. C es la longitud de la circunferencia.

Supongamos que A>T; es decir, A-T>0. Podemos inscribir un polígono en la circunferencia de forma que la diferencia entre sus áreas sea tan pequeña como queramos. Por tanto, existe un polígono inscrito en la circunferencia cuya área es S y tal que A-S<A-T. Sumando S+T-A en cada miembro nos queda que T<S. Por otro lado, también es cierto que S<T porque (P*a)/2 es menor que (C*r)/2, lo cual conduce a una contradicción y A no puede ser mayor que T. De forma análoga se demuestra que T no puede ser mayor que A. Y utilizando las palabras de Arquímedes: "Puesto que entonces el área del círculo no es ni mayor ni menor que el área del triángulo, es igual a ella" q.e.d.

De este resultado se obtiene un importante corolario. Puesto que C = 2*pi*r   y  A = C*r/2, tenemos que A = 2*pi*r*r/2 = pi*r². Es decir, tenemos una fórmula para el área del círculo, y ésta implica de nuevo a pi. No es de extrañar por tanto, que Arquímedes intentará en la última de las proposiciones de este libro, el dar un valor de pi lo más aproximado posible. Su procedimiento fue muy ingenioso. Comienza inscribiendo y circunscribiendo un hexágono en una circunferencia cualquiera. Es fácil ver que el perímetro del hexágono inscrito es 6*r, y el del circunscrito 4*raíz(3)*r ~ 6'9282*r  (usando el teorema de Pitágoras). Dividiendo ambas expresiones entre 2*r (diámetro) obtenemos que pi está comprendido entre 3 y 3'4641. Pero no queda ahí la cosa. Utilizando las dos formulas siguientes,

P_2n = (2*p_n*P_n)/(p_n+P_n)     y     p_2n = raíz(p_n*P_2n)

donde P_n = perímetro del polígono circunscrito de n lados, p_n = perímetro del polígono inscrito de n lados, calcula los perímetros de los polígonos correspondientes de 12, 24, 48 y 96 lados, para obtener al final que,

6336/2017 < pi < 29376/9347

aproximadamente,  3'141298 < pi < 3'142826

aunque por motivos de comodidad usa los valores más sencillos de 3+10/71 y 3+1/7. Sorprende el hecho de que trabajara con valores tan precisos. Para la raíz de 3, por ejemplo, determinó que  265/153 < raíz(3) < 1351/780. Todos estos cálculos son un hecho sin precedentes, de gran dificultad y que nos llenan de admiración.

"...la determinación del perímetro del dodecágono requería obtener un valor numérico de la raíz cuadrada de 3. Con nuestras modernas calculadoras y ordenadores, esto no significa ningún obstáculo, pero en tiempos de Arquímedes, no sólo eran impensables estos artilugios sino que no existía ni siquiera un buen sistema numérico que facilitara estos cálculos." (William Dunham, "Viaje a través de los genios")

No sé si desde entonces o quizás desde antes, el cálculo de pi ha ocupado a muchos eruditos,  científicos y matemáticos. Los algoritmos de cálculo han mejorado con los siglos y la llegada de los ordenadores ha permitido calcular más cifras y con más rapidez. (Ver el número pi)

Puedes ver una tabla con

Valores aproximados de pi a lo largo de la historia

 y también un listado de

Los 1500 primeros decimales de pi.

Sobre la esfera y el cilindro

El volumen del cilindro y del cono eran conocidos desde la época de Demócrito y Eudoxo, y una demostración de que el volumen del cono es igual a un tercio del cilindro que lo contiene también es atribuida a Eudoxo. Euclides había demostrado en sus "Elementos" que el volumen de dos esferas es entre sí como los cubos de sus diámetros, o como diríamos actualmente, que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro. Arquímedes demostró, una vez más, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con  pi. Además de determinar el área y el volumen de la esfera, también encuentra el área lateral del cilindro ¿y del cono?. Por todo ello, está obra está considerada como una de sus cumbres más importantes, y quizás la más apreciada por él mismo, como se puede ver en su epitafio . Una de los resultados más notables del libro es la

PROPOSICIÓN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.
La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución de Eudoxo; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4*pi*r².

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados más importantes del libro,  la

PROPOSICIÓN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. 
La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera. 

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto más alto de la figura, entonces el radio del circulo que aparece en la esfera es la raíz de R²-d². El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro el radio es R. Por tanto, pi*(R²-d²)+pi*d²=pi*R². Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que el volumen de media esfera más el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen de este cilindro es pi*r³ y el del cono pi*r³/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4/3*pi*r³, quod eram demostrandum.

Como corolario de estos resultados obtiene que la relación entre una esfera y el cilindro que la contiene es 2:3, tanto en superficie como en volumen.